Question

已知命题p：?x∈R，ax²+ax+1＞0及命题q：?x₀∈R，x₀²-x₀+a=0，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：题p：?x∈R，ax²+ax+1＞0，对a分类讨论：当a=0时，直接验证；当a≠0时，可得

a＞0 △=a2-4a＜0

．命题q：?x₀∈R，x₀²-x₀+a=0，可得△₁≥0．由p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得命题p与q必然一真一假．解出即可．

解答： 解：命题p：?x∈R，ax²+ax+1＞0，当a=0时，1＞0成立，因此a=0满足题意；当a≠0时，可得

a＞0 △=a2-4a＜0

，解得0＜a＜4．
综上可得：0≤a＜4．
命题q：?x₀∈R，x₀²-x₀+a=0，∴△₁=1-4a≥0，解得a≤

1

4

．
∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴命题p与q必然一真一假．
∴

0≤a＜4 a＞ 1 4

或

a＜0或a≥4 a≤ 1 4

，
解得a≤0或

1

4

＜a＜4．
∴实数a的取值范围是a≤0或

1

4

＜a＜4．

点评：本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．