Question

如图，P为平面ABCD外一点，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点，
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求异面直线PB与CD所成角。

Answer 1

（1）证明：∵N是PB的中点，M为PC中点，
∴MN∥BC，
∵BC∥AD，
∴MN∥AD，
∴A、D、M、N四点共面，
又∵PA=AB，
∴AN⊥PB，
又∵PA⊥面ABCD，PB在面ABCD内的射影为AB，
∵AD⊥AB，AD面ABCD，
∴AD⊥PB，　　
又∵AN∩AD于A，
∴PB⊥面ADMN，
∴PB⊥MD；
（2）取AD中点H，连结BH、PH，
∵，　
∴，　
∴BH∥CD，
∴∠PBH为异面直线CD与PB所成角或其补角，
设BC=1，则PA=AB=AD=2，则PB=2，
在Rt△BAH中，BH=，
在Rt△PAH中，PH=，
∴，
即异面直线CD与PB所成角为。