Question

已知f(x)=x+

m

x

(m∈R)，
（1）若函数y=log

1

2

[f(x)+2]在区间[1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．
（2）若m≤2，求函数g（x）=f（x）-lnx在区间[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据已知f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，说明其导数f′（x）在区间[1，+∞）上是大于0的，再利用常数分离法求出实数m的取值范围；
（2）把f（x）的解析式代入g（x），对g（x）进行求导，求出极值点，此时需要对m进行讨论，利用导数研究g（x）的最值问题；

解答：解：（1）由条件得到f（x）在区间[1，+∞）上是减函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，
f′（x）=1-

m

x2

≥0?m≤x²，在区间[1，+∞）上恒成立，得到m≤1，
f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，得到m＞-3，
所以实数m的取值范围是：（-3，1]…6分
（2）g（x）=x+

m

x

-lnx，则g′（x）=1-

m

x2

-

1

x

=

(x- 1 2 )2-(m+ 1 4 )

x2

，
（一）若m≤-

1

4

时，g′（x）≥0，g（x）是[

1

2

，2]上的增函数，
所以g(x)min=g(

1

2

)=

1

2

+2m+ln2…（9分）
（二）若-

1

4

≤m≤2时，由g′（x）=0
得到x1=

1

2

-

m+ 1 4

(＜

1

2

)，x2=

1

2

+

m+ 1 4

(∈[

1

2

，2])，
且x∈[

1

2

，x2]时，g′（x）≤0，x∈[x₂，2]时，g′（x）≥0，
所以g(x)min=g(x2)=

1

2

+

m+ 1 4

+

m

1 2 + m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)=2

m+ 1 4

-ln(

1

2

+

m+ 1 4

)；…（12分）

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，此题还考查了分类讨论的思想，此题是一道中档题；