Question

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（I）若CD=2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）证明见解析。

解析:

（Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG。因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG=2，。因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG。所以。

（Ⅱ）证明：假设直线ME与BN共面，则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，由已知，两正方形不共面，故平面DCEF，又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF。而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN。又AB∥CD∥EF，则EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。所以ME与BN不共面，它们是异面直线。