【题目】已知在区间上的值域.
(1)求的值;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)若函数有三个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】试题分析:
(1)根据函数图象的开口方向及对称轴与区间的关系得到函数的最值后,根据条件可得.(2)由已知可得在上恒成立,
分离参数可得在上恒成立,换元令,则,可得在上恒成立,构造函数得到的最小值为.(3)由题意可得方程有三个不同的根,令,则得,根据函数有3个零点可得方程有两个不同的实数解,且,或.然后根据方程根的分布得到不等式可得所求范围.
试题解析:
(1)由题意得,在区间上值域.
①当时,
则的最小值为,
由,解得,
∴ ,
此时,满足在区间上值域.
②当在区间上单调递减,
则的最小值为,
由,解得,不合题意,舍去.
③当则在区间上单调递增,
则的最小值为,
由,解得.不合题意,舍去.
综上.
(2)由已知可得在上恒成立,
可得化为在上恒成立,
令,
因,故,
则在上恒成立,
记, ,
故在区间上单调递减,
所以,
故.
所以的取值范围是.
(3)由题意得函数有三个零点,
故方程有三个不同的根,
令, ,
∵,
∴当时, 的范围且单调递减;
当时的范围且单调递增;
当时,
当时的范围且单调递增.
则有两个不同的实数解,
已知函数3个零点等价于其中,或.
记,
则 ① 或 ②
解不等组①,得,而不等式组②无实数解,
所以实数的取值范围是.
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【题目】在平面直角坐标系中,设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为
(1)求圆的方程;
(2)若过点的直线与圆相交,所截得的弦长为4,求直线的方程.
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【题目】已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)函数若存在使得成立,求实数的取值范围;
(3)若函数讨论函数的零点个数(直接写出答案,不要求写出解题过程).
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【题目】阅读下面材料:
根据两角和与差的正弦公式,有
------①
------②
由①+② 得------③
令有
代入③得.
(Ⅰ)类比上述推证方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:
;
(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状.
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【题目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且 =λ(0<λ<1).
(Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
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【题目】已知中心在坐标原点的椭圆 的长轴的一个端点是抛物线 的焦点,且椭圆 的离心率是 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)过点 的动直线与椭圆 相交于 两点.若线段 的中点的横坐标是 ,求直线 的方程.
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【题目】设函数f(x)=sin(ωx﹣ )+sin(ωx﹣ ),其中0<ω<3,已知f( )=0.
(Ⅰ)求ω;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移 个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[﹣ , ]上的最小值.
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【题目】已知抛物线C:y=ax2(a>0)的焦点到准线的距离为 ,且C上的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2)关于直线y=x+m对称,并且 ,那么m= .
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