【题目】已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且 =λ(0<λ<1).
(Ⅰ)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(Ⅱ)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
【答案】证明:(Ⅰ)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD,
∵CD⊥BC且AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
又∵ ,
∴不论λ为何值,恒有EF∥CD,∴EF⊥平面ABC,EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,BE⊥EF,又∵平面BEF⊥平面ACD,
∴BE⊥平面ACD,∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
∴ ,(11分)
∴ ,
由AB2=AEAC得 ,∴
,
故当 时,平面BEF⊥平面ACD.
【解析】(Ⅰ)根据线面垂直的判定定理可得证CD⊥平面ABC,利用已知可得对应边成比例可得EF∥CD进而可得EF⊥平面ABC根据面面垂直的判定定理可得证平面BEF⊥平面ABC(Ⅱ)利用面面垂直的性质定理可得证BE⊥平面ACD进而得出BE⊥AC,在三角形BCD和三角形ABD中由已知可解得AC 、AE的值,故可求出 λ的值使得平面BEF⊥平面ACD。
【考点精析】通过灵活运用直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定,掌握垂直于同一个平面的两条直线平行;一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直即可以解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知圆M:(x+1)2+y2= 的圆心为M,圆N:(x﹣1)2+y2=
的圆心为N,一动圆与圆M内切,与圆N外切.
(Ⅰ)求动圆圆心P的轨迹方程;
(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与曲线P交于A,B两点,若 =﹣2,求直线l的方程.
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【题目】某公司一年需购买某种原料600吨,设公司每次都购买吨,每次运费为3万元,一年的总存储费为
万元,一年的总运费与总存储费之和为
(单位:万元).
(1)试用解析式得表示成
的函数;
(2)当为何值时,
取得最小值?并求出
的最小值.
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【题目】已知某商品在过去20天的日销售量和日销售价格均为销售时间t(天)的函数,日销售量(单位:件)近似地满足: ,日销售价格(单位:元)近似地满
足:
(I)写出该商品的日销售额S关于时间t的函数关系;
(Ⅱ)当t等于多少时,日销售额S最大?并求出最大值
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