Question

18．已知数列{a_n}满足：a₁=2t-2（t∈R且t≠±1），a_n+1=$\frac{2（{t}^{n+1}-1）{a}_{n}}{{a}_{n}+2{t}^{n}-2}$（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若t＞0，试比较a_n+1与a_n的大小．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+1=$\frac{2（{t}^{n+1}-1）{a}_{n}}{{a}_{n}+2{t}^{n}-2}$（n∈N^*）变形可知$\frac{{t}^{n+1}-1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{t}^{n}-1}{{a}_{n}}$，进而数列{$\frac{{t}^{n}-1}{{a}_{n}}$}是以首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）作差可知a_n+1-a_n=$\frac{2（t-1）}{n（n+1）}$•[（tⁿ-1）+（tⁿ-t）+…+（tⁿ-t^n-1）]=$\frac{2（t-1）^{2}}{n（n+1）}$•[（t^n-1+t^n-2+…+1）+t（t^n-2+t^n-3+…+1）+…+t^n-1]，利用t＞0且t≠1计算即得结论．

解答 解：（1）∵a_n+1=$\frac{2（{t}^{n+1}-1）{a}_{n}}{{a}_{n}+2{t}^{n}-2}$（n∈N^*），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{t}^{n+1}-1}$=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2{t}^{n}-2}$，
∴$\frac{{t}^{n+1}-1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}+2{t}^{n}-2}{2{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{{t}^{n}-1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{t-1}{{a}_{1}}$=$\frac{t-1}{2t-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{{t}^{n}-1}{{a}_{n}}$}是以首项、公差均为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{{t}^{n}-1}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{n}$•（tⁿ-1），
又∵a₁=2t-2满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{n}$•（tⁿ-1）；
（2）由（1）可知a_n+1-a_n=$\frac{2}{n+1}$•（tⁿ⁺¹-1）-$\frac{2}{n}$•（tⁿ-1）
=$\frac{2（t-1）}{n（n+1）}$[n（1+t+…+t^n-1+tⁿ）-（n+1）（1+t+…+t^n-1）]
=$\frac{2（t-1）}{n（n+1）}$•[ntⁿ-（1+t+…+t^n-1）]
=$\frac{2（t-1）}{n（n+1）}$•[（tⁿ-1）+（tⁿ-t）+…+（tⁿ-t^n-1）]
=$\frac{2（t-1）^{2}}{n（n+1）}$•[（t^n-1+t^n-2+…+1）+t（t^n-2+t^n-3+…+1）+…+t^n-1]，
∵t＞0且t≠1，
∴$\frac{2（t-1）^{2}}{n（n+1）}$＞0，（t^n-1+t^n-2+…+1）+t（t^n-2+t^n-3+…+1）+…+t^n-1＞0，
∴a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，准确变形利用倒数法构造等差数列是解决问题的关键，属于难题．