Question

在等差数列{a_n}，等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，
（1）求数列{a_n}的公差d和数列{b_n}的公比q；
（2）是否存在常数x，y，使得对一切正整数n，都有a_n=log_xb_n+y成立？若存在，求出x和y；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列、等比数列的通项公式和a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，可知，d≠0，q≠1，列方程组即可求得数列{a_n}的公差d和数列{b_n}的公比q；
（2）根据（1）的结论，求得等差数列、等比数列的通项公式，假设存在常数x，y，使得对一切正整数n，都有a_n=log_xb_n+y成立，利用对数的运算法则，转化为恒等式，对应系数相等，即可得到关于x和y的方程组，解此方程组即可得到结论．

解答：解：（1）∵a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₈=b₃，
∴1+d=q，1+7d=q²，（d≠0，q≠1）
解得：d=5，q=6；
（2）由（1）知：a_n=1+5（n-1）=5n-4，b_n=6^n-1，
要使对一切正整数n，都有a_n=log_xb_n+y成立，
即5n-4=（n-1）log_x6+y，
∴

5=logx6 -4=y-logx6

，解得

x= 5 6 y=1

，
∴当

x= 5 6 y=1

时对，一切正整数n，都有a_n=log_xb_n+y成立．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的和对数的运算法则，特别是问题（2）的设置有新意，关键是恒等式的解题方法（对应系数相等）是解题的关键，属中档题．