Question

1

1×4

+

1

4×7

+…+

1

2008×2011

=

670

2011

．

Answer 1

分析：根据题意，分析可得

1

1×4

=

1

3

（

4-1

1×4

）=

1

3

（1-

1

4

），同理可得

1

4×7

=

1

3

（

1

4

-

1

7

），…

1

2008×2011

=

1

3

（

1

2008

-

1

2011

）；将其代入原式可得，原式=

1

3

（1-

1

4

）+

1

3

（

1

4

-

1

7

）+…+

1

3

（

1

2008

-

1

2011

），依次消项可得答案．

解答：解：

1

1×4

=

1

3

（

4-1

1×4

）=

1

3

（1-

1

4

），同理

1

4×7

=

1

3

（

1

4

-

1

7

），…

1

2008×2011

=

1

3

（

1

2008

-

1

2011

）；
则原式=

1

3

（1-

1

4

）+

1

3

（

1

4

-

1

7

）+…+

1

3

（

1

2008

-

1

2011

）=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

2008

-

1

2011

]=

1

3

（1-

1

2011

）=

670

2011

；
故答案为

670

2011

．

点评：本题考查数列的求和，要掌握特殊数列的求和方法，如本题的裂项求和法．