Question

1．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值$2\sqrt{5}$时，ab的最大值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，花目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得到$2a+b=2\sqrt{5}$，
然后利用基本不等式求得ab的最大值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y-1≤0\\ 2x-y-3≥0\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{2x-y-3=0}\end{array}\right.$，解得A（2，1）．
化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图知在点（2，1）处取得最小值，则$2a+b=2\sqrt{5}$，
由基本不等式有：$2a+b=2\sqrt{5}≥2\sqrt{2ab}⇒ab≤\frac{5}{2}$．
∴ab的最大值为$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．