Question

12．如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四边形，DD₁⊥平面ABCD，AB=$\sqrt{2}$AD，AD=$\sqrt{2}$A₁B₁，∠BAD=45°．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）证明：AA₁∥平面BC₁D．

Answer 1

分析 （1）由已知条件利用余弦定理得BD²=AD²，从而利用勾股定理得AD⊥BD，进而得到BD⊥平面ADD₁A₁，由此能证明BD⊥AA₁．
（2）连结AC、A₁C₁，设AC∩BD=E，连结EC₁，由棱台的定义结合已知条件推导出四边形A₁C₁EA是平行四边形，由此能证明AA₁∥平面BC₁D．

解答 证明：（1）∵AB=$\sqrt{2}$AD，∠BAD=45°，
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos 45°=AD²，
∴AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
∵DD₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
∴DD₁⊥BD，又AD∩DD₁=D，∴BD⊥平面ADD₁A₁．
又AA₁?平面ADD₁A₁，∴BD⊥AA₁．（7分）
（2）连结AC、A₁C₁，设AC∩BD=E，连结EC₁，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE=$\frac{1}{2}$AC，
由棱台的定义及AB=$\sqrt{2}$AD=2A₁B₁知，A₁C₁∥AE，且A₁C₁=AE，
∴四边形A₁C₁EA是平行四边形，∴AA₁∥EC₁，
又∵EC₁?平面BC₁D，AA₁?平面BC₁D，
∴AA₁∥平面BC₁D．（14分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．