Question

设函数f（x）=（x-a）e^x+（a-1）x+a，a∈R．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）是f（x）的导函数，
  （i）证明：当a＞2时，在（0，+∞）上恰有一个x₀使得g（x₀）=0；
  （ii）求实数a的取值范围，使得对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立．注：e为自然对数的底数．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间；
（2）（i）确定函数g（x）在（0，a-2）上递减；在（a-2，+∞）上递增，即可证得结论；
（ⅱ）先确定a＞2，设f（x）在[0，2]上最大值为M，则M=max{f（0），f（2）}，由此可求实数a的取值范围．

解答：（1）解：当a=1时，f（x）=（x-1）e^x+1，f'（x）=xe^x--------------------------------------（2分）
当f'（x）＜0时，x＜0；当f'（x）＞0时，x＞0
所以函数f（x）的减区间是（-∞，0）；增区间是（0，+∞）-------------------------（4分）
（2）证明：（ⅰ）g（x）=f'（x）=e^x（x-a+1）+（a-1），g'（x）=e^x（x-a+2）------------------（5分）
当g'（x）＜0时，x＜a-2；当g'（x）＞0时，x＞a-2
因为a＞2，所以函数g（x）在（0，a-2）上递减；在（a-2，+∞）上递增-----------------（7分）
又因为g（0）=0，g（a）=e^a+a-1＞0，
所以在（0，+∞）上恰有一个x₀使得g（x₀）=0．--------------------------------------------------（9分）
（ⅱ）解：若a≤2，可得在x∈[0，2]时，g（x）≥0，从而f（x）在[0，2]内单调递增，而f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，不符题意．-------------------------------------------------（10分）
∴a＞2
由（ⅰ）知f（x）在（0，x₀）递减，（x₀，+∞）递增，
设f（x）在[0，2]上最大值为M，则M=max{f（0），f（2）}，
若对任意的x∈[0，2]，恒有f（x）≤0成立，则

f(0)≤0 f(2)≤0

，------------------------------------（13分）
由f（2）≤0得（2-a）e²+2a-2+a≤0，∴a≥

2e2-2

e2-3

=2+

4

e2-3

＞2，
又f（0）=0，∴a≥

2e2-2

e2-3

．---------------------------------------------------------（15分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查恒成立问题，确定函数的最值是关键．