Question

12．直线l交椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1与M，N两点，椭圆的上顶点为B点，若△BMN的重心坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），则直线l的方程是（　　）

• A． 2x-4y+3=0
• B． 2x-4y-3=0
• C． 4x-2y-3=0
• D． x-y-5=0

Answer 1

分析 设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，结合题意可得G的坐标，再通过A、B在椭圆上、利用“点差法”求得直线l的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．

解答 解：设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），MN的中点为G，MN的方程为y=kx+b，
由椭圆方程易知B（0，2），
又△BMN的重心坐标为（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
由重心坐标公式可得$\frac{0+{x}_{1}+{x}_{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{2+{y}_{1}+{y}_{2}}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴x₁+x₂=1，y₁+y₂=-1，则MN的中点G为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
又∵M、N在椭圆上，
∴${{x}_{1}}^{2}$+2${{y}_{1}}^{2}$=8，${{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=8$，
两式相减得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）+2（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
又∵x₁+x₂=1，y₁+y₂=-1，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{-1}$=$\frac{1}{2}$，
又∵直线MN过点G（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴则直线l的方程是y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$），
整理得：2x-4y-3=0，
故选：B．

点评 本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系、三角形的重心坐标公式，注意解题方法的积累，属于中档题．