Question

4．已知f（x）=x²-2x-3，等差数列{a_n}中，a₁=f（x-1），a${\;}_{2}=-\frac{3}{2}$，a₃=f（x）
求：（1）x的值；
（2）通项a_n．

Answer 1

分析 （1）首先根据所给的函数式f（x）=x²-2x-3，写出数列的第二项和第三项，利用等差中项公式求解即可．
（2）根据等差数列特点求出x的值，求出公差，即可写出通项公式．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2x-3，
∴a₁=f（x-1）=（x-2）²-4，
a₃=（x-1）²-4．
又a₁+a₃=2a₂，a${\;}_{2}=-\frac{3}{2}$，解得x=0，或x=3．
（2）由（1）知a₁，a₂，a₃分别是0，-$\frac{3}{2}$，-3或-3，-$\frac{3}{2}$，0．
当a₁=0，a₂=-$\frac{3}{2}$，a₃=-3时，d=a₂-a₁=-$\frac{3}{2}$，
a_n=a₁+（n-1）d=-$\frac{3}{2}$（n-1）；
当a₁=-3，a₂=-$\frac{3}{2}$，a₃=0时，d=a₂-a₁=$\frac{3}{2}$，
a_n=a₁+（n-1）d=-3+$\frac{3}{2}$（n-1）=$\frac{3}{2}$（n-3）．
∴a_n=-$\frac{3}{2}$（n-1）或a_n=$\frac{3}{2}$（n-3）．

点评 本题考查等差数列的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．