Question

已知向量

a

=

3

(cosx，cosx)，

b

=(0，sinx)，

c

=(sinx，cosx)，

d

=(sinx，sinx)
（Ⅰ）当x=

π

4

时，求向量

a

、

b

的夹角；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求

c

•

d

的最大值；
（Ⅲ）设函数f（x）=（

a

-

b

）•（

c

+

d

），将函数f（x）的图象按向量

m

平移得到函数g（x）的图象，且g（x）=2sin2x+1，求|

m

|的最小值．

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）把x=

π

4

代入可得向量

a

与

b

的坐标，可得数量积，代入夹角公式计算可得余弦值，可得夹角；（Ⅱ）由题意可得

c

•

d

的表达式，由三角函数的公式化简，结合x的范围可得最大值；（Ⅲ）由题意可得f（x）的表达式，设

m

=（s，t），由图象平移的知识可得g（x）的解析式，由三角函数的知识可求最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵x=

π

4

，∴

a

=(

6

2

，

2

2

)，

b

=(0，

2

2

)，
∴

a

•

b

=(

6

2

，

2

2

)•(0，

2

2

)=

1

2

，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1 2

2 • 2 2

=

1

2

∴向量

a

、

b

夹角为

π

3

；
（Ⅱ）由题意可得

c

•

d

=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin²x+sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

+

1

2

(sin2x-cos2x)=

1

2

+

2

2

sin(2x-

π

4

)，
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，

c

•

d

的最大值

1+ 2

2

（Ⅲ）由题意可得f(x)=(

a

-

b

)•(

c

+

d

)=(

3

cosx，cosx-sinx)•(2sinx，sinx+cosx)
=2

3

sinxcosx+cos2x-sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
设

m

=（s，t），则g(x)=f(x-s)+t=2sin[2(x-s)+

π

6

]+t=2sin(2x-2s+

π

6

)+t=2sin2x+1
∴t=1，s=kπ+

π

12

(k∈Z)
易知当k=0时，|

m

|min=

π2 144

+1

点评：本题考查平面向量的数量积和夹角，涉及三角函数的公式和最值得求解，属中档题．