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(本小题满分14分)如图所示,在四棱锥中,平面
的中点.
(1)证明:平面
(2)若,求二面角的正切值.

解:(1)证明:∵平面,∴
的中点
为△边上的高,


平面。……………………6分
(2)方法1:延长DA、CB相交于点F,连接PF、DB
过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接HE
由(1)知平面,则PH⊥BC
又∵PE∩PH=P,∴BC⊥平面PHE,∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P-BC-D的平面角……………9分
在△FDC中,∵PH=1,AD=1,∴PD=
平面,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=,∴CD=4
,∴AB=2,∴BD=
∴AB是△FCD的中位线,FD=CD
∴BD⊥CF
∴HE=
∵PH=1,∴……………14分
方法2:由(1)知平面,如图建立空间直角坐标系.

∵PH=1,AD=1,∴PD=
平面,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD,∵PC=,∴CD=4

设平面BCD、平面PBC的法向量分别为
,设
,令,则
,设二面角P-BC-D为
,故

解析

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图,在长方体中,,且

(I)求证:对任意,总有
(II)若,求二面角的余弦值;
(III)是否存在,使得在平面上的射影平分?若存在, 求出的值, 若不存在,说明理由.

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(本小题满分14分)正方体,E为棱的中点.
(Ⅰ) 求证:;  (Ⅱ) 求证:平面
(Ⅲ)求三棱锥的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

如图所示的长方体中,底面是边长为的正方形,的交点,是线段的中点.

(1)求证:平面
(2)求三棱锥的体积

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

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(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求证:平面平面
(Ⅲ)求三棱锥的体积.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)
如图所示,在边长为12的正方形中,点在线上,且,作//,分别交于点,作//,分别交于点,将该正方形沿折叠,使得重合,构成如图2所示的三棱柱.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求四棱锥的体积;

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

一个长、宽、高分别为a、b、c长方体的体积是8cm2,它的全面积是32 cm2, 且满足  b2=ac,求这个长方体所有棱长之和。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)
如图,正三棱柱中,
的中点,边上的动点.
(Ⅰ)当点的中点时,证明DP//平面
(Ⅱ)若,求三棱锥的体积.

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