Question

无穷数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）作函数f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，如果S₁₀=45，证明：f(

1

3

)＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由题设知p=1，或a₁=0．a₁+a₂=S₂=2pa₂．a₁=a₂，矛盾．故不可能是：a₁≠0，且p=1．由a₁=0，得a₂≠0．再由a₁+a₂=S₂=2pa₂，能够得到p=

1

2

．
（2）Sn+1=

1

2

(n+1)an+1，Sn=

1

2

nan，an+1=

1

2

(n+1)an+1-

1

2

nan．（n-1）a_n+1=na_n．由此能够导出对一切n∈N^*有：a_n=（n-1）a₂．
（3）f（x）=x+2x²++nxⁿ．f(

1

3

)=

1

3

+

2

32

++

n

3n

．3•f(

1

3

)=

2

3

+

3

32

++

n

3n-1

．再用错位相减法进行求解．

解答：解：（1）∵a₁=S₁=pa₁∴a₁≠0，且p=1，或a₁=0．
若是a₁≠0，且p=1，则由a₁+a₂=S₂=2pa₂．
∴a₁=a₂，矛盾．故不可能是：a₁≠0，且p=1．由a₁=0，得a₂≠0．
又a₁+a₂=S₂=2pa₂，∴p=

1

2

．

（2）∵Sn+1=

1

2

(n+1)an+1，Sn=

1

2

nan，
∴an+1=

1

2

(n+1)an+1-

1

2

nan．（n-1）a_n+1=na_n．
当k≥2时，

ak+1

ak

=

k

k-1

．
∴n≥3时有an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•a2=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

2

1

•a2=(n-1)a2．
∴对一切n∈N^*有：a_n=（n-1）a₂．

（3）∵45=S10=10×

1

2

×a10=45a2，
∴a₂=1． a_n=n-1（n∈N^*）．
故f（x）=x+2x²+…+nxⁿ．
∴f(

1

3

)=

1

3

+

2

32

+…+

n

3n

．
又3•f(

1

3

)=

2

3

+

3

32

+…+

n

3n-1

+1．
∴2•f(

1

3

)=

4

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n

3n

＜

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故f(

1

3

)＜

1

4

．

点评：本题考查数列和不等式的合理应用，解题时要认真审题，注意观察能力的培养．