Question

（2011•孝感模拟）已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1且bn=1-2an，bn+1=

bn

1-4  a 2 n

．
（I）证明：数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k

1 b2b3…bnbn+1

对任意正整数n都成立的最大实数k．

Answer 1

分析：（I）由题设知（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，故a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，

1

an+1

-

1

an

=2，由此能够证明数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，以2为公差的等差数列，并能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由bn=

2n-3

2n-1

，知b2b3…bnbn+1=

1

2n+1

，故1+an=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

，则k≤

2× 4 3 × 6 5 ×…× 2n 2n-1

2n+1

，由此能求出满足条件的最大实数k的值．

解答：（I）证明：∵数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，
且bn=1-2an，bn+1=

bn

1-4  a 2 n

，
∴（1+2a_n）（1-2a_n+1）=1，
∴a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，
∴

1

an+1

-

1

an

=2，
∴数列{

1

an

}是以

1

a1

=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴

1

an

=1+2（n-1）=2n-1，
∴an=

1

2n-1

．
（Ⅱ）解：由（I）得bn=

2n-3

2n-1

，
b2b3…bnbn+1=

1

2n+1

，
1+an=1+

1

2n-1

=

2n

2n-1

，
则k≤

2× 4 3 × 6 5 ×…× 2n 2n-1

2n+1

，
记f（n）=

2× 4 3 × 6 5 ×…× 2n 2n-1

2n+1

，
则

f(n+1)

f(n)

=

2n+2

(2n+1)(2n+2)

＞1，
∴数列{f（n）}是递增数列，
要使原不等式对任意正整数n都成立，只要k≤f（1），
即k≤

2

3

3

，
∴满足条件的最大实数k为

2

3

3

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．