Question

已知直三棱柱BCE-ADG，底面△ADF中，AD⊥DF，DA=DF=DC，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一个动点．
（1）求证：GN⊥AC；
（2）当DC=

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DF时，在边AD上是否存在一点，使得GP∥平面FMC？

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）要证GN⊥AC，只要证明AC垂直于平面FDN即可，由DF垂直于底面，底面是正方形即可得到答案；
（2）由DC=

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DF时，在边AD上存在一点P，使得GP∥平面FMC，此时P为AD的中点．在根据线面平行、面面平行去证即可．

解答： 解：（1）AD⊥DF，DF=AD=DC，
连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN，
又FD⊥AD，FD⊥CD，且AD∩CD=D．
所以FD⊥平面ABCD，所以AC⊥平面FDN．
GN?平面FDN，
∴GN⊥AC．
（2）当DC=

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DF时，在边AD上存在一点P，使得GP∥平面FMC，此时P为AD的中点．
证明如下：在DC上取点S，使DS=

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DC．连接GS．
因为DG=

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DF，DS=

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DC，
所以GS∥FC，
∴GS∥平面FMC，
延长BA至点Q，使得AQ=

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AM．连接SQ交AD与点P，
可得PS∥CM，
∴PS∥平面EMC，
由GS∩PS=S，
∴PS∥平面EMC，
由GS∩PS=S，
∴平面GSP∥平面EMC，
又GP?平面GSP，
∴GP∥平面FMC

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的性质，综合考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．