Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD∥FE，∠AFE=60°，∠AED=90°，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB= AD=2，点G为AC的中点．
（Ⅰ）求证：平面BAE⊥平面DCE；
（Ⅱ）求三棱锥B﹣AEG的体积．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴CD⊥平面AFED，∴CD⊥AE，

∵∠AED=90°，∴ED⊥AE，

又∵EO∩CD=D，∴AE⊥平面DCE，

又AE平面BAE，∴平面BAE⊥平面DCE．

（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足为N，

由平面ABCD⊥平面AFED，平面ABCD∩平面AFED=AD．

得EN⊥平面ABCD，即EN为三棱锥E﹣ABG的高．

∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60°，∴△AEF是正三角形，AE=2，

由EF∥AD，知∠EAD=60°，∴ ，

∴三棱锥B﹣AEG的体积为：

．

【解析】（Ⅰ）推导出CD⊥AE，ED⊥AE，从而AE⊥平面DCE，由此能证明平面BAE⊥平面DCE．（Ⅱ）作EN⊥AD，垂足为N，三棱锥B﹣AEG的体积为VB﹣AEG=VE﹣ABG，由此能求出结果．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．