Question

【题目】已知椭圆 ，动直线
（1）若动直线l与椭圆C相交，求实数m的取值范围；
（2）当动直线l与椭圆C相交时，证明：这些直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上．

Answer 1

【答案】
（1）解：将 代入 ，整理得：9x2+6mx+2m2﹣18=0，

由△=36m2﹣36（2m2﹣18）=﹣36m2+36×18＞0，

解得 ，

∴实数m的取值范围是（ ）

（2）证明：设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）知 ，

∴ ，

故线段AB的中点 ，

代入直线3x+2y=0，可得3× ．

∴直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上

【解析】（1）联立直线方程与椭圆方程，由判别式大于0求得实数m的取值范围；（2）由（1）中的方程结合根与系数的关系可得直线l被椭圆所截线段中点的坐标，代入直线3x+2y=0成立，说明直线被椭圆截得的线段的中点都在直线3x+2y=0上．