Question

已知数列{a_n}中a_n=n+1，又数列{b_n}满足：nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1．
（1）求b_n的表达式；
（2）若c_n=-a_n•b_n，试问数列{c_n}中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n都c_n≤c_k成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由数列{b_n}满足的条件nb1+(n-1)b2+…+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+(

9

10

)+1=10[1-(

9

10

)n]，再写一式，两式相减可求；
（2）设存在自然数k，使对n∈N，c_n≤c_k恒成立，易得当n＜8时，c_n+1＞c_n，当n=8时，c_n+1=c_n，当n＞8时，c_n+1＜c_n故得解．

解答：解：（1）由 nb1+(n-1)b2+…+2bn-1+bn=(

9

10

)n-1+(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1，
得，（n-1）b₁+（n-2）b₂+…+b_n-1=(

9

10

)n-2+…+

9

10

+1两式相减，
得 b1+b2+…+bn=(

9

10

)n-1=Sn
∴当n=1时，b₁=S₁=1
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=-

1

10

(

9

10

)n-2
即bn=

1… …当n=1时 - 1 10 ( 9 10 )n-2…当n≥2时

（2）由（1）得 cn=-anbn=

-2… …当n=1时 n+1 10 ( 9 10 )n-2…当n≥2时

设存在自然数k，使对n∈N，c_n≤c_k恒成立
当n=1时，c2-c1=

23

10

＞0⇒c2＞c1
当n≥2时，cn+1-cn=(

9

10

)n-2•

8-n

100

，
∴当n＜8时，c_n+1＞c_n
当n=8时，c_n+1=c_n，当n＞8时，c_n+1＜c_n
所以存在正整数k=8或9，使对任意正整数n，均有c₁＜c₂＜…＜c₈=c₉＞c₁₀＞c₁₁＞…，
从而存在正整数k8或9，使得对于任意的正整数n都c_n≤c_k成立

点评：本题考查数列的性质及其应用，难度较大，解题时要认真审题，仔细解答．