Question

15．求函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1（-3≤x≤2）的值域．

Answer 1

分析 令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$，由x得范围求出t的范围，转化为关于t的二次函数后由配方法求值域．

解答 解：令t=$（\frac{1}{2}）^{x}$，
∵-3≤x≤2，∴t∈[$\frac{1}{4}，8$]，
则原函数化为g（t）=${t}^{2}-t+1=（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$．
当t=$\frac{1}{2}$时，函数g（t）有最小值为$\frac{3}{4}$；
当t=8时，函数有最大值为57．
∴函数f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1（-3≤x≤2）的值域为[$\frac{3}{4}，57$]．

点评 本题考查函数的值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，考查了配方法求二次函数的值域，是基础题．