Question

5．已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2sin\frac{π}{2}x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，若关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，（a，b∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围（　　）

• A． （-4，-$\frac{3}{2}$）
• B． （-4，-$\frac{7}{2}$）
• C． （-4，-$\frac{7}{2}$）∪（-$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• D． （-$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 由题意可得令t=f（x），y=t₁在（0，$\frac{3}{2}$）有两个交点，y=t₂在（$\frac{3}{2}$，2）有四个交点，y=2与y=f（x）有两个交点，y=t在（$\frac{3}{2}$，2）有四个交点，由数形结合求解．

解答 解：关于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，（a，b∈R），
有且仅有6个不同实数根，
令t=f（x），则t²+at+b=0，
作y=f（x）的图象，
由图象知，
y=t₁在（0，$\frac{3}{2}$）有两个交点，
y=t₂在（$\frac{3}{2}$，2）有四个交点，
由t₁+t₂=-a，即有-a∈（$\frac{3}{2}$，$\frac{7}{2}$），
即a∈（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
或y=2与y=f（x）有两个交点，
y=t在（$\frac{3}{2}$，2）有四个交点，
由2+t=-a∈（$\frac{7}{2}$，4），
可得a∈（-4，-$\frac{7}{2}$）．
故a的范围是（-4，-$\frac{7}{2}$）∪（-$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．
故选C．

点评 本题考查了函数的零点与函数的交点的关系应用及数形结合的思想应用，属于中档题．