Question

【题目】若数列{}的前n项和Sn=2-2．

（1）求数列{}的通项公式；

（2）若bn=log，Sn=b1+b2+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）＜0恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）= ；（2）

【解析】

（1）运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；

（2）求得bn＝2nlog2n＝﹣n2n，由数列的错位相减法求和，可得Sn，再由不等式恒成立思想和不等式的性质，即可得到所求的范围．

（1）由Sn＝2﹣2，得当n≥2时，Sn﹣1＝2﹣2，两式相减，得＝2﹣2，

∴当n≥2时，＝2，又n＝1时，S1＝a1＝2a1﹣2，a1＝2，

则{}是首项为2，公比为2的等比数列，∴＝2n．

（2）bn＝2nlog2n＝﹣n2n，

∴﹣Sn＝1×2+2×22+3×23+…+n2n，①

∴﹣2Sn＝1×22+2×23+…+（n﹣1）2n+n2n+1，②

①﹣②，得Sn＝2+22+23+…+2n﹣n2n+1＝﹣n2n+1＝2n+1﹣n2n+1﹣2．

由Sn+（n+m）an+1＜0，得2n+1﹣n×2n+1﹣2+n×2n+1+m×2n+1＜0对任意正整数n恒成立，

∴m2n+1＜2﹣2n+1，即m＜﹣1对任意正整数n恒成立．∵﹣1＞﹣1，

∴m≤﹣1，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．