Question

（本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数

（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式

（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由题意：当0≤x≤20时，v（x）＝60；当20≤x≤200时，设v（x）＝ax＋b．

再由已知得解得………………………………4分

故函数v（x）的表达式为

………………………………6分

（2）依题意并由（1）可得

    ……………………………8分

当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；……9分

当20≤x≤200时，f（x）＝x（200－x）≤²＝．……………10分

当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．

所以，当x＝100时，f（x）在区间[20,200]上取得最大值．……………11分

综上，当x＝100时，f（x）在区间[0,200]上取得最大值≈3333．

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．

………12分

 

【解析】略