Question

如图，四棱锥S-ABCD中，M是SB的中点，AB∥CD，BC⊥CD，且AB=BC=2，CD=SD=1，又SD⊥面SAB．
（1）证明：CD⊥SD；
（2）证明：CM∥面SAD；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积．

Answer 1

分析：（1）利用平行线中的一条直线与令一条直线垂直，推出另一条直线垂直证明CD⊥SD；
（2）取SA中点N，连接ND，NM，证明NMCD是平行四边形，通过ND∥MC，证明CM∥面SAD；
（3）利用V_S-ABCD：V_S-ABD=S_ABCD：S_△ABD，求出V_S-ABD，即可求四棱锥S-ABCD的体积．

解答：解：（1）证明：由SD⊥面SAB，AB?面SAB，
所以SD⊥AB，又AB∥CD，
所以CD⊥SD；
（2）证明：取SA中点N，连接ND，NM，
则NM∥AB，且MN=

1

2

AB=DC，AB∥CD，
所以NMCD是平行四边形，
ND∥MC，且ND?平面SAD，MC?平面SAD，
所以CM∥面SAD；
（3）V_S-ABCD：V_S-ABD=S_ABCD：S_△ABD=3：2，
过D作DH⊥AB，交于H，由题意得，BD=AD=

1+22

=

5

，
在Rt△DSA，Rt△DSB中，SA=SB=

( 5 )2-1

=2．
所以，VS-ABD=VD-SAB=

1

3

• DS•S△ABS=

3

3

，
四棱锥S-ABCD的体积为：

3

2

×

3

3

=

3

2

．

点评：本题考查直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．