Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA-sinC（cosB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinB）=0．
（1）求角C的大小；    
（2）若c=2，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanC=$\sqrt{3}$，即可得解C的值．
（2）利用三角形面积公式可求ab=4，利用余弦定理可得a²+b²=8，联立即可解得a，b的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+sinCcosB-sinCcosB-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinBsinC=0，…（2分）
即sinB（cosC-$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=$\sqrt{3}$，故C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a²+b²-2ab×$\frac{1}{2}$=4，
∴a²+b²=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．