Question

7．已知圆M过点P（2，0），Q（-1，$\sqrt{3}$），且点P关于直线x+2y=0的对称点P′仍在圆M上．
（1）求圆M的方程；
（2）设P（x，y）是圆M上任意一点A（-2，-2），B（-2，6），C（4，-2）求PA²+PB²+PC²的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，设圆心坐标为（-2a，a），利用圆M过点P（2，0），Q（-1，$\sqrt{3}$），建立方程，求出圆心与半径，即可求圆M的方程；
（2）表示出PA²+PB²+PC²，结合x²+y²=4，利用配方法求PA²+PB²+PC²的最大值和最小值．

解答 解：（1）由题意，设圆心坐标为（-2a，a），则
∵圆M过点P（2，0），Q（-1，$\sqrt{3}$），
∴（2+2a）²+a²=（-1+2a）²+（$\sqrt{3}$-a）²，
∴a=0，
∴圆心坐标为（0，0），半径为2，
∴圆M的方程为x²+y²=4；
（2）设P点为（x，y），则：
f（x）=PA²+PB²+PC²=（x+2）²+（y+2）²+（x+2）²+（y-6）²+（x-4）²+（y+2）²=3x²+3y²-4y+68，
∵x²+y²=4，∴x²=4-y²，
∴f（x）=12-3y²+3y²-4y+68=80-4y，
∵-2≤y≤2，
∴当y=-2，f（x）有最大值88；当y=2，f（x）有最小值72．

点评 本题考查圆的方程，考查两点间距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．