Question

已知A，B，C是椭圆W：＋y²＝1上的三个点，O是坐标原点．
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．

Answer 1

(1)   (2) 不可能,理由见解析

解：(1)椭圆W：＋y²＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．
因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．
所以可设A(1，m)，
代入椭圆方程得＋m²＝1，即m＝±.
所以菱形OABC的面积是
|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.
(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：
假设四边形OABC为菱形．
因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，
所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．
由
消y并整理得(1＋4k²)x²＋8kmx＋4m²－4＝0.
设A(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)，则＝－，＝k·＋m＝.
所以AC的中点为M.
因为M为AC和OB的交点，
所以直线OB的斜率为－.
因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．
所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．