Question

将圆上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线．设直线与曲线相交于、两点，且，其中是曲线与轴正半轴的交点．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）证明：直线的纵截距为定值．

Answer 1

;

（Ⅰ）设所求曲线上的任一点坐标为，圆上的对应点的坐标为，由题意可得，                                     
，，即 
曲线的方程为．                                  
（Ⅱ），显然直线与轴不垂直，设直线，与椭圆:相交于，
由 得，              
，                            ，，
即：
，
，
整理得：，             
即，
，，
展开得：，，
直线的纵截距为定值．