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(本小题满分13分)双曲线的中心是原点O,它的虚轴长为,相应于焦点F(c,0)(c>0)的准线与x轴交于点A,且|OF|=3|OA|,过点F的直线与双曲线交于P、Q两点.
(1)求双曲线的方程;
(2)若=0,求直线PQ的方程.
= 1
x - -3 = 0或x +-3 = 0
解.(1)由题意,设曲线的方程为= 1(a>0,b>0)
由已知 解得a = ,c = 3所以双曲线的方程为= 1…(6分)
(2)由(1)知A(1,0),F(3,0),
当直线PQ与x轴垂直时,PQ方程为x =" 3" .此时,≠0,应舍去.
当直线PQ与x轴不垂直时,设直线PQ的方程为y ="k" ( x – 3 ).
由方程组 得
由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点,则-2≠0,即k≠
  由于△=36-4(-2)(9+6)=48(+1)>0即k∈R.
∴k∈R且k≠(*) ………………………(8分)
设P(),Q(),则

由直线PQ的方程得= k(-3),= k(-3)
于是=-3)(-3)=[-3(+)+ 9] (3)
 = 0,∴(-1,)·(-1,)= 0
-(+)+ 1 + =" 0    " (4)
由(1)、(2)、(3)、(4)得
= 0
整理得=,∴k = 满足(*)
∴直线PQ的方程为x - -3 = 0或x +-3 = 0………(13分)
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