Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2．点M为PD中点．
（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线PC与平面ABM所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证平面ABM⊥平面PCD，只需证明平面PCD内的直线PD，垂直平面PAD内的两条相交直线BM、AB即可；
（2）平面ABM与PC交于点N，说明∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，然后解三角形，求直线PC与平面ABM所成的角；

解答：证明：（1）∵PA=AD=4，点M为PD中点，∴AM⊥PD
因为PA⊥平面ABCD，则PA⊥AB，又AB⊥AD，
所以AB⊥平面PAD，则AB⊥PD，
因此有PD⊥平面ABM，所以平面ABM⊥平面PCD
（2）设平面ABM与PC交于点N，
因为AB∥CD，所以AB∥平面PCD，则AB∥MN∥CD，
由（1）知，PD⊥平面ABM，则MN是PN在平面ABM上的射影，
所以∠PNM就是PC与平面ABM所成的角，且∠PNM=∠PCD，tan∠PNM=tan∠PCD=

PD

DC

=2

2

，∴sin∠PNM=

2 2

3

点评：本题考查了线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理等知识点；注意线线平行，线面平行，面面平行的转化，同样注意线线垂直，线面垂直的转化；找平行时运用了平行四边形，中位线，找垂直时运用了矩形，三角形的高线，线面垂直的定义性质等．