Question

（2006•朝阳区三模）已知：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=a，AA₁=2a，D、E分别是侧棱BB₁和AC₁的中点．
（Ⅰ）求异面直线AD与A₁C₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求证：ED⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅲ）求平面ADC₁与平面ABC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）正三棱柱中AC∥A₁C₁，∠CAD是异面直线AD与A₁C₁所成的角．在△ACD中求解．
（Ⅱ）通过证明ED⊥AC．ED⊥AC₁．证出ED⊥平面ACC₁A₁．（或证ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁．）
（Ⅲ）C₁D，CB共面，则C₁D，CB必相交，设交点为F，连结AF．则平面ADC₁与平面ABC所成二面角是C-AF-C₁．
∠C₁AC是所求二面角的平面角．在△C₁AC中求解．

解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱中AC∥A₁C₁，
∴∠CAD是异面直线AD与A₁C₁所成的角．…（2分）
连结CD，易知AD=CD=

2

a，AC=a，
在△ACD中易求出cos∠CAD=

2

4

．
因此异面直线AD与A₁C₁所成的角的余弦值为

2

4

．…（4分）

（Ⅱ）证明：

∵D是B₁B的中点，
∴△C₁B₁D≌△ABD．
∴AD=C₁D．
于是△ADC₁是等腰三角形．
∵E是AC₁的中点，
∴DE⊥AC₁．…（6分）
设AC的中点为G，
∴EG∥C₁C∥DB，EG=

1

2

C₁C=DB．
∴四边形EGBD是平行四边形．
∴ED∥GB．
∵G是AC的中点，且AB=BC，
∴GB⊥AC．
∴ED⊥AC．
∵AC∩AC₁=A，
∴ED⊥平面ACC₁A₁．…（8分）
（或证ED∥GB，GB⊥平面ACC₁A₁得到ED⊥平面ACC₁A₁．）

（Ⅲ）解：∵C₁D，CB共面，
故C₁D，CB必相交，设交点为F，连结AF．
∴平面ADC₁与平面ABC所成二面角是C-AF-C₁．…（10分）
∵DB=

1

2

C₁C，DB∥C₁C，
∴B是CF的中点．
∴AC=CB=BF=a．
在△ACF中，由余弦定理可求出AF=

3

a．
∴易判断出△ACF是直角三角形，即AC⊥AF．
∵C₁C⊥面ACF，
∴AC₁⊥AF．
∴∠C₁AC是所求二面角的平面角．…（12分）
∵tan∠C₁AC=

C1C

AC

=2，
∴平面ADC₁与平面ABC所成二面角的大小是arctan2（或arccos

5

5

）．…（13分）

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，空间角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．