Question

己知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-

π

3

，

π

4

]求函数f（x）的最大值和最小值，并写出相应x的值．

Answer 1

分析：（1）利用倍角公式对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调增区间，求出函数的递增区间；
（2）由x∈[-

π

3

，

π

4

]求出2x-

π

4

的范围，进而求出正弦函数值的范围，再由解析式求出函数最值以及x的值．

解答：解：（1）由题意知，f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x，
∴f（x）=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得，kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

∴函数的递增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）
（2）∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，
∴2x-

π

4

∈[-

11π

12

，

π

4

]，
∴

2

sin(-

π

2

)≤y≤

2

sin

π

4

即-

2

≤y≤1
∴函数的最大值为：1．此时2x-

π

4

=

π

4

，即x=

π

4

．
函数的最小值为：-

2

，此时x=-

π

8

．

点评：本题的考点是正弦函数的单调性和求定区间上的值域，需要对解析式进行适当的化简成正弦型的函数，再利用整体思想求解．