Question

10．已知数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 由递推公式求出数列的前4项，总结规律，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明．

解答 解：∵数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴${a}_{2}=\frac{2×1}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，${a}_{3}=\frac{2×\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}$=$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{4}$，
${a}_{4}=\frac{2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{2}{5}$，…
由此猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=$\frac{2}{1+1}$=1，成立．
②假设n=k时，成立，即a_k=$\frac{2}{k+1}$，
则${a}_{k+1}=\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}+2}$=$\frac{\frac{4}{k+1}}{\frac{2}{k+1}+2}$=$\frac{4}{2+2（k+1）}$=$\frac{2}{（k+1）+1}$，成立，
∴${a}_{n}=\frac{2}{n+1}$．
∴通项公式a_n=$\frac{2}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要注意合理猜想和数学归纳法的灵活运用．