Question

4．已知函数f（x）=sinx+x，则使不等式f（sinθ）+f（cosθ）≥0成立的θ的取值范围是[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z．

Answer 1

分析 通过求导数便可判断f（x）在R上单调递增，并且容易判断为奇函数，从而可以由f（sinθ）+f（cosθ）≥0便可得到sinθ≥-cosθ，进一步便可得到$sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$，这样根据正弦函数的图象及周期性便可得到θ的取值范围．

解答 解：f′（x）=1+cosx≥0；
∴f（x）在R上为增函数；
又f（-x）=sin（-x）-x=-（sinx+x）=-f（x）；
∴f（x）为奇函数；
∴由f（sinθ）+f（cosθ）≥0得，f（sinθ）≥f（-cosθ）；
∵f（x）在R上为增函数；
∴sinθ≥-cosθ；
∴sinθ+cosθ≥0；
∴$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$，$sin（θ+\frac{π}{4}）≥0$；
∴$2kπ≤θ+\frac{π}{4}≤π+2kπ，k∈Z$；
∴$2kπ-\frac{π}{4}≤θ≤\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$；
∴θ的取值范围为$[2kπ-\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}+2kπ]$，k∈Z．
故答案为：[2kπ-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}+2kπ$]，k∈Z．

点评 考查根据导数符号判断函数单调性的方法，余弦函数的值域，奇函数的定义，及对奇函数定义的运用，以及增函数的定义，两角和的正弦公式，熟悉正弦函数的图象及周期性．