Question

16．如图，已知一个圆锥的底面半径为R，高为H．一个圆柱的下底面在圆锥的底面上，且圆柱的上底面为圆锥的截面，设圆柱的高为x．求：
（1）试用x表示圆柱的侧面积；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

分析 （1）根据已知中圆锥的底面半径为R，高为H，圆柱的高为x，根据相似三角形的性质，分析圆锥的高与底面半径的关系，可得圆柱的侧面积．
（2）由（1）中圆柱侧面积的表达式，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）作轴截面如图所示，

设内接圆柱底面半径为r，
由三角形相似得r：R=H-x：H，
所以r=$\frac{（H-x）R}{H}$，
S_圆柱侧=-$\frac{2πR}{H}$x²+2πRx，（0＜x＜H）．…（8分）
（2）S_圆柱侧=-$\frac{2πR}{H}$x²+2πRx，（0＜x＜H），
所以当x=$\frac{πR}{\frac{2πR}{H}}$=$\frac{H}{2}$时，S圆柱侧最大．…（12分）

点评 本题考查的知识点是圆柱的表面积，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．