Question

5．已知a∈R，函数f（x）=$\frac{a•{2}^{x}-{a}^{-2}}{{2}^{x}+1}$为奇函数．
（1）实数a的值；
（2）判断并证明函数的单调性．

Answer 1

分析 （1）由f（x）为奇函数，知f（0）=0，解得a=1，再验证即可；
（2）直接用单调性的定义作差证明，f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．

解答 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，
即$\frac{a•2^0-{a}^{-2}}{2^0+1}$=0，解得a=1，
所以，f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$，对f（x）的奇偶性验证如下：
f（x）+f（-x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$+$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$+$\frac{1-2^x}{1+2^x}$=0，
即a=1时，f（x）为奇函数，符合题意；
（2）f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$=1-$\frac{2}{2^x+1}$为（-∞，+∞）上的增函数，证明过程如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（1-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
因为，x₁＜x₂，所以，${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的性质，函数单调性的判断和证明，属于基础题．