Question

11．已知f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）•sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（1）若tanα=2，求f（α）的值；
（2）若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的取值范围；
（3）画出函数在一个周期内[0，π]的图象（注意定义域）；
（4）说出函数在[0，π]内的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的范围．
（3）用五点法画出函数在一个周期内[0，π]的图象．

解答 解：f（x）=（1+$\frac{1}{tanx}$）sin²x-2sin（x+$\frac{π}{4}$）•sin（x-$\frac{π}{4}$）
=sinx（sinx+cosx）+2cos（$\frac{π}{4}$-x）•sin（$\frac{π}{4}$-x）
=sin²x+sinxcosx+sin（$\frac{π}{2}$-2x）=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+cos2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•[$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x]+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
（1）∵tanα=2，求f（α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2α+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x]+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{2sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{{cos}^{2}α{-sin}^{2}α}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$+$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{1}{2}$•$\frac{1{-tan}^{2}α}{{tan}^{2}α+1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{-3}{5}$）+$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$．
（2）若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$），则2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{4}$），∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∴f（x）的取值范围为[0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$）．（3）用五点法画出函数在一个周期内[0，π]的图象，如图所示：
∵x∈[0，π]，∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]，列表：

2x+$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{9π}{4}$
x	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	π
y	1	$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{-\sqrt{2}+1}{2}$	$\frac{1}{2}$	1

作图：
（4）结合函数y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的图象，可得函数在[0，π]内的单调增区间为[0，$\frac{π}{8}$]、[$\frac{5π}{8}$，π]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，同角三角函数的基本关系，正弦函数的定义域和值域，用五点法做函数y=Asin（ωx+φ）+b在一个周期上的图象，属于中档题．