试题分析:(1)f'(x)=
=
,
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,∴f'(x)≤0对x∈[-1,1]恒成立,
即x
2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设
(x)=x
2-ax-2,
①
-1≤a≤1,
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}. -6分
(2)由
=
,得x
2-ax-2=0, ∵△=a
2+8>0
∴x
1,x
2是方程x
2-ax-2=0的两实根,
∴
从而|x
1-x
2|=
=
.
∵-1≤a≤1,∴|x
1-x
2|=
≤3. 10分
要使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m
2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m
2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. ②
设g(t)=m
2+tm-2=mt+(m
2-2),
(方法一:)
②
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}. --14分
(注:方法二: 当m=0时,②显然不成立; 当m≠0时,
②
或
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m
2+tm+1≥|x
1-x
2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.)
点评:难题,在某区间,导函数值非负,则函数为增函数;导函数值非正,则函数为减函数。通过研究函数的图象和性质,进一步研究方程有实根的情况,这是函数与方程思想的灵活应用。不等式恒成立问题,一般的要转化成求函数的最值问题。