Question

（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）.  （2）存在定点，使平分.

【解析】（Ⅰ）利用离心率为，可得 ，由椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂，可得△MB₁B₂是等腰直角三角形，由此可求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设，，直线的方程为，然后与与椭圆的方程联立，消去得 .利用韦达定理，结合PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．

（1）由 ，  得 .    

依题意△是等腰直角三角形，从而，故.   

所以椭圆的方程是.                    

（2）设，，直线的方程为.  

将直线的方程与椭圆的方程联立，

消去得 .               

所以 ，.     

若平分，则直线，的倾斜角互补，

所以.                                                                                          

设，则有 .

将 ，代入上式，

整理得 ，

所以 .      

将 ，代入上式，

整理得 .

由于上式对任意实数都成立，所以 .

 综上，存在定点，使平分.