Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点F₁、F₂与短轴一端点的连线互相垂直，M为椭圆上任一点，且△MF₁F₂的面积最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆A：x²+y²=r²（r＞0）的切线l与椭圆C交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=0，求半径r的值．

Answer 1

分析：（1）根据焦点F₁、F₂与短轴一端点的连线互相垂直，△MF₁F₂的面积最大值为1，可建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）l斜率不存在时，l方程为x=±r，求出P、Q的坐标，利用OP⊥OQ，可求半径r的值；l斜率存在时，设l方程为y=kx+m则可得m²=r²（1+k²），联立l与椭圆方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，利用OP⊥OQ及韦达定理可求半径r的值．

解答：解：（1）椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1中，由题意可知

b=c bc=1

，∴b=c=1，∴a=

2

∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1…（6分）
（2）l斜率不存在时，l方程为x=±r，此时P(±r，

1- r2 2

)、Q(±r，-

1- r2 2

)
∵OP⊥OQ，∴r2=

2

3

…（8分）
l斜率存在时，设l方程为y=kx+m则  

|m|

1+k2

=r即  m²=r²（1+k²）
设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），联立l与椭圆方程

y=kx+m x2 2 +y2=1

，消元可得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0…（10分）
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
∵OP⊥OQ，∴x1x2+y1y2=(1+k2)

2m2-2

1+2k2

+km•(

-4km

1+2k2

)+m2=

3m2-2(1+k2)

1+2k2

=0
∵m²=r²（1+k²），∴3r²（1+k²）-2（1+k²）=0
∴r2=

2

3

综上所述r=

6

3

…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的切线，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理解题．