Question

（本小题满分12分）

如图：在三棱锥D-ABC中，已知是正三角形，AB平面BCD，，E为BC的中点，F在棱AC上，且

（1）求三棱锥D－ABC的表面积；

（2）求证AC⊥平面DEF；

（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）先证EF⊥AC，再证DE⊥AC，即可证AC⊥平面DEF

（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．

【解析】

试题分析：（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．

设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．

∴，，．

三棱锥D－ABC的表面积为．

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．

∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，当CN＝时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．

∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝

考点：棱锥的结构特征．

点评：题考查棱锥的结构特征，证明线面垂直，线面平行，考查逻辑思维能力，是中档题．