(1)求证,若方程x3+ax2+bx+c=0的三根可排成等比数列,则a3c=b3.
(2)已知方程x3+7x2-21x-27=0的三根可以排成等比数列,求三根.
【答案】
分析:(1)设出原方程的三根,根据一元三次方程根与系数的关系得到三根的三个关系式,又三根可排成等比数列,根据等比数列的性质得到中间的一根的平方等于其他两根的积即β
2=αγ,要证a
3c=b
3即要证
=c,把a与b代入等号的左边,化简后得到c,得证;
(2)根据(1)可知β
3=-c,又由方程得到c=-27,进而求出β的值,由三根之和等于-7,得到其他两根之和,记作①,由三根成等比数列得到β
2=αγ,将β的值代入即可求出其他两根之积,记作②,联立①②即可求出其他的两个根,依次写出三根即可.
解答:解:(1)设α,β,γ是方程x
3+ax
2+bx+c=0的三根,
由根与系数关系可知:α+β+γ=-a,αβ+βγ+γα=b,αβγ=-c,
又因α,β,γ排成等比数列,于是β
2=αγ.
则
=
=-β
3=-αβγ=c
即a
3c=b
3,得证;
(2)解:由(1)可知β
3=-c,∴β
3=27,
∴β=3.代入α+β+γ=-7
可得α+γ=-10,又由α,β,γ成等比数列,∴β
2=αγ,
即αγ=9,故可得方程组:
解之,可得α=-9或-1,γ=-1或-9.
于是,所求之三根为-9,3,-1或-1,3,-9.
点评:此题考查学生掌握一元n次方程的根与系数的关系,灵活运用等比数列的性质化简求值,是一道中档题.