Question

已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

（a≠0，x≠0）．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）设F（x）=f（x）-a，且F（x）为奇函数，求a的值；
（3）若关于t（t≠0）的方程f(

1

t2

)=t4+1有实数解，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，作差f（x₁）-f（x₂，证明其结果＞0即可；
（2）由奇函数的性质可得 F(-x)+F(x)=

2

a

-2a=0，解之可得；
（3）可得t4+t2+1-

1

a

=0，令 m=t²，问题等价于关于m的方程 m2+m+1-

1

a

=0有正数解．构造函数F(m)=m2+m+1-

1

a

，只需 F(0)=1-

1

a

＜0，解之可得．

解答：（1）证明：任取x₁＞x₂＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（

1

a

-

1

x1

）-（

1

a

-

1

x2

）=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

  …（1分）
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＞0，…（3分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故f（x）在（0，+∞）上是增函数             …（5分）
（2）可得F(x)=f(x)-a=

1

a

-

1

x

-a…（6分）
∴F(-x)=

1

a

+

1

x

-a，又因为F（-x）为奇函数，
所以 F(-x)+F(x)=

2

a

-2a=0…（8分）
解得 a=1或 a=-1…（10分）
（3）由f(

1

t2

)=t4+1得：t4+t2+1-

1

a

=0，令 m=t²，（m＞0）…（12分）
所以本题等价于关于m的方程 m2+m+1-

1

a

=0有正数解．   …（14分）
令F(m)=m2+m+1-

1

a

，其对称轴为 m=-

1

2

，
∴F（m）在区间(-

1

2

，+∞)为增函数，
所以有 F(0)=1-

1

a

＜0，解得0＜a＜1…（16分）

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，涉及函数的奇偶性的判断，属基础题．