(1)求证:f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)若a=3,求方程f(x)=0的正根(精确到0.01).
解析:问题(1)可依据增函数定义通过作差通分来求证,问题(2)可以通过用二分法,根据题目精确度的要求,只需进行有限次的重复运算便可得解,求出方程f(x)=0的正根.
(1)证明:任取x1、x2∈(-1,+∞),且x1<x2,
则x2-x1>0,>1,且ax1>0,
∴>0,
又∵x1+1>0,x2+1>0,
∴-=>0,
于是f(x2)-f(x1)=+->0,
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
(2)解:由(1)知,当a=3时,f(x)=3x+也在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)也单调递增,因此f(x)=0的正根仅有一个,以下用二分法求这一正根.由于f(0)=-1<0,f(1)=>0,取[0,1]为初始区间,用二分法逐次计算,列出下表:
区 间 | 中 点 | 中点函数值 |
[0,1] | 0.5 | 0.732 |
[0,0.5] | 0.25 | -0.084 |
[0.25,0.5] | 0.375 | 0.322 |
[0.25,0.375] | 0.312 5 | 0.124 |
[0.25,0.312 5] | 0.281 25 | 0.021 |
[0.25,0.281 25] | 0.265 6 | -0.032 |
[0.265 6,0.281 25] | 0.273 43 | -0.005 52 |
[0.273 43,0.28 125] |
|
|
由于区间[0.273 43,0.281 25]的长度为0.007 82<0.01,所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值,即原方程的正根是0.28.
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a-x2 |
x |
1 |
2 |
1 |
4 |
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