Question

等差数列有如下性质，若数列{a_n}是等差数列，则当bn=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)时，数列{b_n}也是等差数列；类比上述性质，相应地{c_n}是正项等比数列，当数列d_n=

(c1c2…cn)

1

n

时，数列{d_n}也是等比数列．

Answer 1

分析：数列{a_n}是等差数列，则当bn=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)时，数列{b_n}也是等差数列说明等差数列的前n项和除以项数构成新的等差数列，由此类比，数列{c_n}是正项等比数列，则它的前n项的乘积开项数次方也构成新的等比数列，然后利用等比数列的定义加以证明．

解答：解：由数列{a_n}是等差数列，则当bn=

a1+a2+…+an

n

(n∈N*)时，数列{b_n}也是等差数列．
类比得到：{c_n}是正项等比数列，当数列dn=(c1c2…cn)

1

n

时，数列{d_n}也是等比数列．
证明如下：
∵{c_n}是正项等比数列，设其公比为q，
∴(c1c2…cn)

1

n

=(c1nq1+2+…+n-1)

1

n

=c1q

n-1

2

．
(c1c2…cn-1)

1

n-1

=(c1n-1q1+2+…+n-2)

1

n-1

=c1q

n-2

2

．
∴

dn

dn-1

=

(c1c2…cn) 1 n

(c1c2…cn-1) 1 n-1

=

c1q n-1 2

c1q n-2 2

=q

1

2

．
∴当数列dn=(c1c2…cn)

1

n

时，数列{d_n}也是等比数列．
故答案为：(c1c2…cn)

1

n

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了类比推理，是中档题．