Question

已知A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限，C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为等腰直角三角形，记∠AOC=α．
（1）求A点的坐标为（

3

5

，

4

5

），求

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值；
（2）求|BC|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由A的坐标求出tanα的值，然后把所求式子的分子第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，分母第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，然后分子分母同时除以cos²α，利用同角三角函数间的基本关系化为关于tanα的式子，把tanα的值代入即可求出值；
（2）由A和B都为单位圆上的点，且C为单位圆与x轴的交点，根据∠AOC=α，且三角形AOB为等腰直角三角形，分别表示出A，B及C的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|，利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系把被开方数化简后，根据A为第一象限的点得出α的范围，进而得出sinα的范围，即可得出|BC|的范围．

解答：解：（1）由已知可得：tanα=

y

x

=

4 5

3 5

=

4

3

，（2分）
则

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

cos2α +cos2α-sin2α

（4分）
=

tan2α+2tanα

2-tan2α

（6分）
=

( 4 3 )2+2× 4 3

2-( 4 3 )2

=20；

（2）根据题意得：A=（cosα，sinα），B=（cos（α+

π

2

），sin（α+

π

2

）），且C（1，0），
∴|BC|=

[cos(α+ π 2 )-1]2+sin2(α+ π 2 )

=

2+2sinα

，（8分）
∵A，B分别在第一、第二象限，且α∈（0，

π

2

），
∴sinα∈（0，1），
∴|BC|的范围是（

2

，2）．（12分）

点评：此题考查了三角函数的化简求值，以及正弦函数的值域，涉及的知识有三角函数的定义，二倍角的正弦、余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，根据题意表示出三点的坐标是解第二小问的关键．