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    如图，B是△PAC的边AC上一点，且AB=2BC=4，∠APB=90°，∠CPB=30°，则
    PA
    •
    PC
    =
    -6
    -6
    ．
    分析：设PB长为x，在△PBC中利用正弦定理，算出
    |PC|
    =
    		3
    x．再在△PBC中算出sinC关于x的式子，利用正弦定理建立关于x的方程，解出x的值，从而得到向量
    PA
    、
    PC
    的长度，结合数量积的计算公式，得到所求的结果．
    解答：解：设
    |PB|
    =x，
    则Rt△PAB中，
    |PA|
    =
    		16-x2
    ，sinA=
    |PB|
    |AB|
    =
    x
    4

    ∵△PBC中，
    AC
    sin120°
    =
    PC
    sinA

    ∴
    |PC|
    =
    		3
    x
    sin∠PBC=sin∠PBA=cosA=
    		16-x2
    4
    ，cos∠PBC=-cos∠PBA=-sinA=-
    x
    4

    ∴sinC=sin（∠PBC+∠BPC）=
    		16-x2
    4
    cos30°+（-
    x
    4
    ）sin30°=
    		48-3x2
    -x
    8

    在△PBC中，
    PB
    sinC
    =
    BC
    sin∠CPB
    ，即
    x
    		48-3x2
    -x
    8
    =
    2
    sin30°

    解之得：x=2，所以
    |PA|
    =
    		16-22
    =2
    		3
    ，
    |PC|
    =
    		3
    x=2
    		3

    ∴
    PA
    •
    PC
    =
    |PA|
    •
    |PC|
    cos120°=2
    		3
    •2
    		3
    •（-
    1
    2
    ）=-6
    故答案为：-6
    点评：本题在特殊三角形中求向量的数量积，着重考查了正弦定理解三角形和向量数量积的运算等知识，属于基础题．
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    如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，
    （1）求证：平面PAC⊥平面PBC．
    （2）图中有几个直角三角形．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
    （1）证明：面PAC⊥面PBC；
    （2）若PA=AB=2，则当直线PC与平面ABC所成角正切值为
    		2
    时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

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    (本小题满分12分) 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一点．

    （1）证明：平面PAC⊥平面PBC；

    （2）若，∠ABC=30°，求二面角A—PB—C的大小．

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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    如图，B是△PAC的边AC上一点，且AB=2BC=4，∠APB=90°，∠CPB=30°，则=    ．

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